题目内容

已知数列{a_n}的首项 $数学公式$ ， $数学公式$ ，n∈N⁺
（Ⅰ）设 $数学公式$ 证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）数列{ $数学公式$ }的前n项和S_n．

解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的首项 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴a₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
a₃= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
a₄= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
由此猜想a_n= $\text{[math]}$ ．
用数学归纳法证明：
①当n-1时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，成立；
②假设n=k时，等式成立，即 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，成立．
∴a_n= $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -1= $\text{[math]}$ ．
∵b₁= $\text{[math]}$ -1= $\text{[math]}$ -1= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴数列{b_n}是首项为 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列．
（Ⅱ）∵b_n= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =n•2ⁿ，
∴数列{ $\text{[math]}$ }的前n项和
S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①
∴2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-S_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
= $\text{[math]}$ -n×2ⁿ⁺¹
=-（2-2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺¹），
∴S_n=2-2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺¹=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
分析：（Ⅰ）由数列{a_n}的首项 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，推导出a_n= $\text{[math]}$ ．所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．由此能够证明数列{b_n}是等比数列．
（Ⅱ）由b_n= $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ =n•2ⁿ，故数列{ $\text{[math]}$ }的前n项和S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，由此利用错位相减法能求出数列{ $\text{[math]}$ }的前n项和S_n．
点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意数学归纳法、错位相减法和递推思想的合理运用．