Question

21.设函数f（x）=x－ln（x+m）,其中常数m为整数.

（Ⅰ）当m为何值时,f（x）≥0;

（Ⅱ）定理:若函数g（x）在[a,b]上连续,且g（a）与g（b）异号,则至少存在一点x₀∈（a,b）,使g（x₀）=0.

试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f（x）=0,在[e^－m－m,e^2m－m]内有两个实根.

Answer 1

21.本题主要考查函数的单调性、极值等知识和思维能力、创新意识.

（Ⅰ）解：函数f（x）=x－ln（x+m）,x∈（－m,+∞）连续,

   且f′（x）=1－.令f′（x）=0,得x=1－m.

当x∈（－m,1－m）时,f′（x）<0,f（x）为减函数,

f（x）>f（1－m）.

当x∈（1－m,+∞）时,f′（x）>0,f（x）为增函数,

f（x）>f（1－m）.

根据函数极值判别方法,f（1－m）=1－m为极小值,而且

对x∈（－m,+∞）都有f（x）≥f（1－m）=1－m.

故当整数m≤1时,f（x）≥1－m≥0.

 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知,当整数m>1时,f（1－m）=1－m<0.

 函数f（x）=x－ln（x+m）,在[e^－m－m,1－m]上为连续减

 函数.

 f（e^－m－m）=e^－m－m－ln（e^－m－m+m）=e^－m>0.

           当整数m>1时,f（e^－m－m）与f（1－m）异号,

由所给定理知,存在唯一的x₁∈（e^－m－m,1－m）,

使f（x₁）=0.

而当整数m>1时,

f（e^2m－m）=e^2m－3m>（1+1）^2m－3m>1+2m+ －3m>0.

（∵m>12m－1>1.上述不等式也可用数学归纳法证明）.

类似地,当整数m>1时, f（x）=x－ln（x+m）,在[1－m,e^－m－m]上为连续增函数,且f（1－m）与f（e^2m－m）异号,由所给定理知,存在唯一的x₂∈(1－m,e^2m－m),使f（x₂）=0. 

故当m>1时,方程f（x）=0在[e^－m－m,e^2m－m]内有两个实根.