题目内容

过正四棱柱的底面ABCD中顶点A，作与底面成30°角的截面AB₁C₁D₁，截得的多面体如图，已知AB=1，B₁B=D₁D，则这个多面体的体积为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：作D₁E∥DC，连接B₁D₁，B₁E，BD，则几何体被分割成两个棱锥与一个棱柱，分别求出两个棱锥与一个棱柱的体积，即可得多面体的体积
解答：作D₁E∥DC，连接B₁D₁，B₁E，BD，则几何体被分割成两个棱锥与一个棱柱，如图：

∵截面AB₁C₁D₁与底面成30°的二面角，∴∠CAC₁=30°，
∵AB=1，∴AC= $\text{[math]}$ ，CC₁=ACtan30°= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵截面AB₁C₁D₁为平行四边形，∴AC₁与B₁D₁的交点为AC₁的中点
∴B₁B=D₁D= $\text{[math]}$ CC₁= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
∴多面体的体积为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故选 C
点评：本题以多面体为载体，考查几何体的体积，关键是将几何体进行分割，利用规则几何体的体积公式求解．

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A． B． C． D．

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A．

B．

C．

D．

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