Question

设函数f（x）=|x-1|，g（x）=|x-2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）+g（x）＜2；
（Ⅱ）对于实数x，y，若f（x）≤1，g（y）≤1，求证|x-2y+3|≤3．

Answer 1

分析：（1）令y=|x-1|+|x-2|，则 y=

3-2x ，  x≤1 1 ， 1＜x＜2 2x-3 ， x≥2

，作出函数y=|x-1|+|x-2|的图象，它与直线y=2的交点为(

1

2

，2)和(

5

2

，2)，由此得到不等式的解集．
（Ⅱ）因为|x-2y+3|=|（x-1）-2（y-2）|≤|x-1|+2|y-2|=f（x）+2g（y），再根据f（x）≤1，g（y）≤1证得结论．

解答：解：（1）令y=|x-1|+|x-2|，则 y=

3-2x ，  x≤1 1 ， 1＜x＜2 2x-3 ， x≥2

，
作出函数y=|x-1|+|x-2|的图象，它与直线y=2的交点为(

1

2

，2)和(

5

2

，2)．
所以f（x）+g（x）＜2的解集为(

1

2

，

5

2

)．------------（5分）
（Ⅱ）因为|x-2y+3|=|（x-1）-2（y-2）|≤|x-1|+2|y-2|=f（x）+2g（y）≤3，
所以|x-2y+3|≤3成立．--------（10分）

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的性质应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．