Question

在△ABC中，若cos3A+cos3B+cos3C=1，求证：△ABC中必有一个内角为120°．

Answer 1

分析：根据三角形内角和，可知cos3A+cos3B+cos3C=（cos3A+cos3B）+cos[3π-3（A+B）]，先正充分性，若A，B，C中有一个角是120°，不妨令A=120°，则可知B+C=60° 进而可知3A和3B 互补，进而可得cos3B+cos3C=0代入前边的等式可知cos3A+cos3B+cos3C=cos2π=1．进而看必要性，若cos3A+cos3B+cos3C=1进行恒等变换得到2cos

3A+3B

2

（cos

3A-3B

2

-cos

3A+3B

2

）=0，再进行等价转化即可得出结论．

解答：解：∵A+B+C=π
∴cos3A+cos3B+cos3C
=（cos3A+cos3B）+cos[3π-3（A+B）]
（1）证充分性：若A，B，C中有一个角是120°，不妨令A=120°，
所以B+C=60°，所以3C+3B=180°，即3C和3B 互补
所以cos3B+cos3C=0
∴cos3A+cos3B+cos3C=cos2π=1
（2）证必要性
若cos3A+cos3B+cos3C=1
即cos3A+cos3B+cos（3π-3A-3B）=1
即cos3A+cos3B-cos（3A+3B）=1
即2cos

3A+3B

2

cos

3A-3B

2

-2cos2

3A+3B

2

+1=1
即2cos

3A+3B

2

（cos

3A-3B

2

-cos

3A+3B

2

）=0
即2cos

3A+3B

2

（-2sin

3A

2

sin

3B

2

）=0
∴cos

3A+3B

2

=0或sin

3A

2

或sin

3B

2

=0
又A，B，C是三角形的三个内角，故

3A+3B

2

＜

3π

2

，

3A

2

＜

3π

2

，

3B

2

＜

3π

2

，
∴

3A+3B

2

=

π

2

或

3A

2

=π或

3B

2

=π
∴A+B=

π

3

，即C=

2π

3

或A=

2π

3

或B=

2π

3

∴A，B，C中必有一个是120°
综上知，命题成立．

点评：本题主要考查了同角三角函数关系，三角恒等变换的基本应用．解题的关键利用充分和必要两个方面去论证．