Question

直线ax+by=1与圆x²+y²=1相交于不同的A，B两点（其中a，b是实数），且

OA

•

OB

＞0（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（0，

1

2

）距离的取值范围为（　　）

• A．（1，+∞）
• B．（

  1

  2

  ，+∞）
• C．（

  1

  2

  ，

  2

  ）
• D．(

  1

  2

  ，

  1

  2

  +

  2

  )

Answer 1

分析：设出点A、B的坐标，将直线与圆的方程联立，利用根与系数的关系即可表示出判别式△与

OA

•

OB

，即可得出a、b满足的条件，进而利用两点间的距离公式即可得出．

解答：解：当b≠0时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

ax+by=1 x2+y2=1

，消去y得到（a²+b²）x²-2ax+1-b²=0，
∵直线ax+by=1与圆x²+y²=1相交于不同的A，B两点，∴△=4a²-4（a²+b²）（1-b²）＞0，化为a²+b²＞1．（*）
由根与系数的关系得x1+x2=

2a

a2+b2

，x1x2=

1-b2

a2+b2

．
∵

OA

•

OB

＞0，∴x₁x₂+y₁y₂＞0，
又ax₁+by₁=1，ax₂+by₂=1，
∴b²y₁y₂=（1-ax₁）（1-ax₂0，
∴（b²+a²）x₁x₂-a（x₁+x₂）+1＞0，
代入得

(a2+b2)(1-b2)

a2+b2

-

2a2

a2+b2

+1＞0，化为a²+b²＜2．（**）
联立（*）（**）得

a2+b2＞1 a2+b2＜2

，当b=0时也成立．
画出图象：
当P分别取（0，1），（0，-

2

）时，|QP|取得最小值与最大值，
∴|QP|满足

1

2

＜|QP|＜

1

2

+

2

．
因此点P（a，b）与点（0，

1

2

）距离的取值范围为(

1

2

，

1

2

+

2

)．
故选D．

点评：熟练掌握直线与圆相交问题的解题模式、判别式、数量积的计算及两点间的距离公式是解题的关键．