Question

已知圆C的圆心坐标为（3，4），直线l：2x+y=0与圆C相切于点P₁．
（1）求圆C的方程；
（2）过点P₁作斜率为2的直线交x轴于点Q₁（x₁，0），过Q₁作x轴的垂线交l于点P₂，过P₂作斜率为4的直线交x轴于点Q₂（x₂，0），…，如此下去．一般地，过点P_n作斜率为2ⁿ的直线交x轴于点Q_n（x_n，0），再过Q_n作x轴的垂线交l于点P_n+1，…
①求点P₁和P₂的坐标；
②求x_n+1与x_n的关系．

Answer 1

分析：（1）利用点到直线的距离公式、直线与圆相切的性质、圆的标准方程即可得出．
（2）①联立

2x+y=0 (x-3)2+(y-4)2=20

，解得P₁，利用点斜式可得直线P₁Q₁的方程，令y=0，可得Q₁，
联立

2x+y=0 x=-2

，解得P₂；
②设Q_n（x_n，0），则P_n+1（x_n，-2x_n），Q_n+1（x_n+1，0），则Q_n+1P_n+1的斜率为2ⁿ⁺¹，
即

-2xn-0

xn-xn+1

=2n+1，即可．

解答：解：（1）圆心到直线l的距离d=

|10|

5

=2

5

，
则圆C的方程为（x-3）²+（y-4）²=20；
（2）①联立

2x+y=0 (x-3)2+(y-4)2=20

，解得

x=-1 y=2

，∴P₁（-1，2），
直线P₁Q₁的方程为y-2=2（x+1），令y=0，解得x=-2．
∴Q₁（-2，0），
联立

2x+y=0 x=-2

，解得

x=-2 y=4

，
∴P₂（-2，4）；
②设Q_n（x_n，0），则P_n+1（x_n，-2x_n），Q_n+1（x_n+1，0），
则Q_n+1P_n+1的斜率为2ⁿ⁺¹，
即

-2xn-0

xn-xn+1

=2n+1，
∴xn+1=(1+

1

2n

)xn．

点评：熟练掌握点到直线的距离公式、直线与圆相切的性质、圆的标准方程、直线的方程、斜率计算公式等是解题的关键．