Question

设数列{an}的各项均为正数．若对任意的n∈N*，存在k∈N*，使得＝an·an＋2k成立，则称数列{an}为“Jk型”数列．

(1)若数列{an}是“J2型”数列，且a2＝8，a8＝1，求a2n；

(2)若数列{an}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{an}是等比数列．

 

Answer 1

（1）a2n＝a2qn－1＝()n－4.

（2）见解析

【解析】【解析】
(1)由题意得a2，a4，a6，a8，…成等比数列，且公比q＝()＝，

所以a2n＝()n－4.

(2)由数列{an}是“J4型”数列，得

a1，a5，a9，a13，a17，a21，…成等比数列，设公比为t.

由数列{an}是“J3型”数列，得

a1，a4，a7，a10，a13，…成等比数列，设公比为α1；

a2，a5，a8，a11，a14，…成等比数列，设公比为α2；

a3，a6，a9，a12，a15，…成等比数列，设公比为α3.

则＝α14＝t3，＝α24＝t3，＝α34＝t3.

所以α1＝α2＝α3，不妨记α＝α1＝α2＝α3，且t＝α.

于是a3k－2＝a1αk－1＝a1()(3k－2)－1，

a3k－1＝a5αk－2＝a1tαk－2＝a1αk－＝a1()(3k－1)－1，

a3k＝a9αk－3＝a1t2αk－3＝a1αk－＝a1()3k－1，

所以an＝a1()n－1，故{an}为等比数列．