Question

关于函数f(x)=x-

a

x

（a＞0），有下列四命题：
①f（x）的值域是（-∞，0）∪（0，+∞）；   
②f（x）是奇函数；
③f（x）在（-∞，0）及（0，+∞）上单调递增；
④方程|f（x）|=b（b≥0）总有四个不同的解；
其中正确的有

②③

．

Answer 1

分析：①由于f(x)=x-

a

x

（a＞0）在x=

a

时f（x）=0可判断①；②f（-x）=-x+

a

x

=-(x-

a

x

)=-f（x），可判断②；③当0＜x₁＜x₂时，利用单调性的定义可判断f(x)=x-

a

x

（a＞0）在（0，+∞）单调性，由奇函数在对称区间上的单调性相同可判断函数f（x）在（-∞，0）单调性，故可判断③；④令|f（x）|=0可判断④

解答：解：①∵f(x)=x-

a

x

（a＞0）在x=

a

时f（x）=0∉（-∞，0）∪（0，+∞），故①不正确；
②f（-x）=-x+

a

x

=-(x-

a

x

)=-f（x），则可得函数f（x）为奇函数，故②正确
③当0＜x₁＜x₂时，f（x₁）-f（x₂）=x1- 

a

x1

-x2+

a

x2

=(x1- x2)-(

a

x1

-

a

x2

)
=(x1-x2)-

a(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)(1+

a

x1x2

)
∵0＜x₁＜x₂，a＞0
∴x₁-x₂＜0，1+

a

x1x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
∴f(x)=x-

a

x

（a＞0）在（0，+∞）单调递增，由奇函数在对称区间上的单调性相同可知函数f（x）在（-∞，0）单调递增，故③正确
④|令f（x）|=0可得|x-

a

x

|=0，则x=±

a

，只有2个解，故④不正确；
故答案为②③．

点评：本题主要考查了函数的性质：函数的值域，函数的奇偶性，函数的单调性及函数与方程的相互转化等性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握函数的基本性质并能灵活应用．