题目内容

某渔业公司今年初用98万元购进一艘远洋渔船，每年的捕捞可有50万元的总收入，已知使用x年（x∈N^*）所需（包括维修费）的各种费用总计为2x²+10x万元．
（1）该船捞捕第几年开始赢利（总收入超过总支出，今年为第一年）？
（2）该船若干年后有两种处理方案：
①当赢利总额达到最大值时，以8万元价格卖出；
②当年平均赢利达到最大值时，以26万元卖出，
问哪一种方案较为合算？请说明理由．

解：（1）∵每年的捕捞可有50万元的总收入，使用x年（x∈N^*）所需（包括维修费）的各种费用总计为2x²+10x万元，
∴由该船捞捕第x年开始赢利，可得50x＞2x²+10x+98
∴x²-20x+49＜0
∴x∈[3，17]（x∈N^*）
∴该船捞捕第3年开始赢利；
（2）①令y₁=50x-2x²+10x+98=-2（x-10）²+102
∴x=10时，赢利总额达到最大值102万元
∴10年赢利总额为102+8=110；
令y₂= $\text{[math]}$ ，则由基本不等式可得 $\text{[math]}$ ≤12
此时，x=7，年平均赢利达到最大值为12万元
∴7年赢利总额为7×12+26=110万元，
两种情况的盈利额一样，但方案②的时间短，故方案②合算．
分析：（1）根据题意，由该船捞捕第x年开始赢利，可得50x＞2x²+10x+98，解得x的取值范围从而解决问题．
（2）①先求出平均盈利的函数表达式，再利用基本不等式求其最大值，从而得出盈利总额；
②先求出平均盈利的函数表达式，再利用二次函数的图象与性质求其最大值，从而得出盈利总额；最后比较两种情况的盈利额的情况即可解决问题．
点评：本题主要考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式的运用，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．