Question

已知函数f（x）=x²+2x，
（Ⅰ）若x∈[-2，a]，求f（x）的值域；
（Ⅱ）若存在实数t，当x∈[1，m]，f（x+t）≤3x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）的图象与性质，讨论a的取值，从而确定f（x）在[-2，a]上的增减性，求出f（x）的值域．
（Ⅱ）把f（x+t）≤3x转化为（x+t）²+2（x+t）≤3x，即u（x）=x²+（2t-1）x+t²+2t，在x∈[1，m]恒小于0问题，考查u（x）的图象与性质，求出m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+2x的图象是抛物线，开口向上，对称轴是x=-1，
∴当-2＜a≤-1时，f（x）在[-2，a]上是减函数，
f(x)max=f(-2)=0，f(x)min=f(a)=a2+2a，
∴此时f（x）的值域为：[a²+2a，0]；
当-1＜a≤0时，f（x）在[-2，a]上先减后增，
f（x）_max=f（-2）=0，f（x）_min=f（-1）=-1，
∴此时f（x）的值域为：[-1，0]；
当a＞0时，f（x）在[-2，a]上先减后增，
f(x)max=f(a)=a2+2a，f(x)min=f(-1)=-1，
∴此时f（x）的值域为：[-1，a²+2a]．
（Ⅱ）若存在实数t，当x∈[1，m]，f（x+t）≤3x恒成立，
即（x+t）²+2（x+t）≤3x，
∴x²+（2t-1）x+t²+2t≤0；
设u（x）=x²+（2t-1）x+t²+2t，其中x∈[1，m]
∵u（x）的图象是抛物线，开口向上，
∴u（x）_max=max{u（1），u（m）}；
由u（x）≤0恒成立知

u(1)≤0 u(m)≤0

；
化简得

-4≤t≤0 t2+2(1+m)t+m2-m≤0

；                      v 
令g（t）=t²+2（1+m）t+m²-m，
则原题转化为存在t∈[-4，0]，使得g（t）≤0；
即当t∈[-4，0]时，g（t）_min≤0；
∵m＞1时，g（t）的对称轴是t=-1-m＜-2，
①当-1-m＜-4，即m＞3时，g（t）_min=g（-4），
∴

m＞3 16-8(m+1)+m2-m≤0

，
解得3＜m≤8；
②当-4≤-1-m＜-2，即1＜≤3时，g（t）_min=g（-1-m）=-1-3m，
∴

1＜m≤3 -1-3m≤0

，
解得1＜m≤3；
综上，m的取值范围是（1，8]．
解法二，由

u(1)≤0 m2+(2t-1)m+t2+2t≤0有解

，
∴m≤

1-2t+ 1-12t

2

，
即(

1-2t+ 1-12t

2

)max=8，1＜m≤8；
即得m的取值范围（1，8]．

点评：本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题的应用，解题时应讨论对称轴在区间内？在区间左侧？区间右侧？从而确定函数的最值．