Question

已知a，b∈R，0＜b＜a＜e，其中e是自然对数的底数．
（1）试猜想a^b与b^a的大小关系；
（2）证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）对a和b进行赋值，取a=2，b=1可知：a^b＞b^a，又当a=1，b=

1

2

时，a^b＞b^a由此猜测a^b＞b^a对一切0＜b＜a＜e成立；
（2）要证a^b＞b^a对一切0＜b＜a＜e成立只需证lna^b＞lnb^a即证blna＞alnb也即

lna

a

＞

lnb

b

，考虑函数f(x)=

lnx

x

在（0，e）上的单调性即可证得结论．

解答：解：（1）取a=2，b=1可知：a^b＞b^a，又当a=1，b=

1

2

时，a^b＞b^a
由此猜测a^b＞b^a对一切0＜b＜a＜e成立…（6分）
（2）要证a^b＞b^a对一切0＜b＜a＜e成立
只需证lna^b＞lnb^a即证blna＞alnb也即

lna

a

＞

lnb

b

…（8分）
考虑函数f(x)=

lnx

x

在（0，e）上的单调性…（10分）
f′(x)=

1-lnx

x2

，当x∈（0，e）时，f'（x）＞0恒成立
∴f(x)=

lnx

x

在（0，e）上单调递增…（12分）
∴f(a)＞f(b)即

lna

a

＞

lnb

b

∴a^b＞b^a…（14分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及赋值法的运用，进行合理的归纳、猜想，同时考查了分析法，属于中档题．