Question

已知向量

a

=（cos

3x

2

，sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[0，

π

2

]．
（Ⅰ）求

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（Ⅱ）若f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|的最小值为-

3

2

，且λ∈[0，+∞），求λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用坐标运算求数量积，再用两角差的余弦直求解；先求向量和，再求和的模化简即可．
（Ⅱ）先表示出f（x），然后化简，对λ分类[0，1]和（1，+∞）根据最大值，确定λ的值．

解答：解：（Ⅰ）

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x（2分）
|

.

a

+

.

b

|=

(cos 3x 2 +cos x 2 )2+(sin 3x 2 -sin x 2 )2

=

2+2cos2x

（5分）
因为x∈[0，

π

2

]，所以cosx≥0所以|

a

+

b

|=2cosx（6分）
（Ⅱ）f（x）=

a

•

b

-2 λ|

a

+

b

|=cos^₂x-4 λcosx=2cos²x-4λcosx-1
=2（cosx-λ）²-1-2 λ²（8分）
令t=cosx∈[0，1]，则f（x）=g（t）=2（t-λ）²-1-2λ²
①当0≤λ≤1时，当且仅当t=λ时，f（x）取得最小值，
g（ λ）=-1-2 λ²即-1-2 λ²=-

3

2

?λ=

1

2

（10分）
②当  λ＞1时，当且仅当t=1时，f（x）取得最小值，g（1）=1-4λ
即1-4λ=-

3

2

?λ=

5

8

＜1不合题意，舍去．（12分）
综上，λ=

1

2

（13分）

点评：本题考查平面向量数量积的运算，向量的模，函数最值，是中档题．