Question

【题目】如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面底面，且，，分别为棱，的中点.

（1）求证：；

（2）求异面直线与所成角的余弦值；

（3）求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）（3）

【解析】

（1）以，所在直线分别为轴和轴建立空间直角坐标系，利用向量数量积运算证明即可；

（2）将向量用坐标表示，然后结合向量数量积运算即可得解；

（3）由向量投影的几何意义可得点到平面的距离，再求解即可.

（1）证明：由题意可得：侧面底面，

取中点，

因为，

则交线，

所以底面，

如图，以，所在直线分别为轴和轴建立空间直角坐标系，

则，，，，1，，，1，，，，，，0，，

，，，

则，

则，

所以；

（2）解：

设异面直线与所成角为，

则.

所以异面直线与所成角的余弦值为；

（3）解：因为.

设平面的一个法向量为，，，

由，得，

取，得，.

所以，

又，

所以点到平面的距离.