Question

（2009•锦州一模）几何证明选讲
等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AC于E，F为DE中点．
求证：AF⊥BE．

Answer 1

分析：以D为原点、AB所在直线为x轴建立直角坐标系，设C（1，0）、A（0，m）、B（-1，0），由DE⊥AC算出E点坐标（

m2

1+m2

，

m

1+m2

），利用中点坐标公式得F（

m2

2(1+m2)

，

m

2(1+m2)

）．由此得出向量

BE

、

AF

的坐标，从而算出它们的数量积关于m的式子，化简可得

BE

•

AF

=0，即可得到BE⊥AF．

解答：解：由题意，以D为原点，AB所在直线为x轴，建立如图直角坐标系：----（2分）
设C（1，0）、A（0，m），则B（-1，0）
设E（x，y），由DE⊥AC可得

x= m2 1+m2 y= m 1+m2

，
∴E（

m2

1+m2

，

m

1+m2

），F（

m2

2(1+m2)

，

m

2(1+m2)

）----（6分）
可得

BE

=（

m2

1+m2

+1，

m

1+m2

），-----------（6分）

AF

=（

m2

2(1+m2)

，

m

2(1+m2)

-m）--------------（8分）
∵

BE

•

AF

=（

m2

1+m2

+1）•

m2

2(1+m2)

+

m

1+m2

•（

m

2(1+m2)

-m）=0
∴

BE

⊥

AF

，即BE⊥AF---------（10分）

点评：本题给出等腰三角形ABC的底边中点D在AC上的射影为E，且F为DE中点，求证BE⊥AF．着重考查了利用解析法证明平面几何中的垂直关系和平面向量的数量积等知识，属于中档题．