Question

若,,为同一平面内互不共线的三个单位向量，并满足＋＋＝，且向量＝x＋＋（x＋） （x∈R，x≠0，n∈N＋）．

（1）求与所成角的大小；

（2）记f（x）＝||，试求f（x）的单调区间及最小值．

 

Answer 1

（1）；

（2）的减区间为 和；再由均值不等式易求得： 时，．

【解析】

试题分析：（1）与所成角的大小，首先求出向量与的数量积，由已知＋＋＝，可得＋＝－，两边平方可得与的数量积，再利用函数的数量积求出向量的夹角．（2）求的单调区间及最小值，首先把向量的模长转化为求向量的数量积，得函数的解析式，进一步利用导数求出单调区间，最后确定最值．

试题解析：（1）依题设：||＝||＝||＝1，且＋＝－⇒ （＋）2＝（－）2,化简得：

·＝－ ⇒ cos<,>＝－，又<,>∈[0, π] ⇒ <,>＝．

（2）由 （1）易知：·＝·＝·＝－，故由f（x）＝||＝，将其展开整理得： f（x）＝ （x∈R，x≠0，n∈N＋）．

①x＞0时，对u（x）＝x2＋（）2－n，求导并整理得：（x）＝．则由（x）＞0⇒x＞，且由（x）＜0⇒0＜x＜．即f（x）的增区间为（, ＋∞），减区间为（0, ）．

②x＜0时，因f（x）为偶函数，由图像的对称性知：f（x）的增区间为（－,0），减区间为（－∞,－）．

综上：f（x）的增区间为 （－，0） 与 （, ＋∞），f（x）的减区间为（－∞, －） 和 （0, ）．

再由均值不等式易求得：|x|＝时， f（x）min＝．

考点：向量的数量积，向量的夹角，向量的模，均值不等式，利用导数求函数的单调区间和最值．