Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是BC的中点，P，Q是正方体内部及面上的两个动点，则的最大值是

1. A.
   
2. B.
   1
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：以A为原点，分别以AB、AD、AA₁为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设P（x₁，y₁，z₁），Q（x₂，y₂，z₂），可得 =（x₂-x₁）+．分析可得，当P在AA₁上，Q在CC₁上， 有最大值，此时，x₂-x₁=1，y₂-y₁，由此求得 的最大值．
解答：以A为原点，分别以AB、AD、AA₁为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则 A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），
A₁（0，0，1），B₁（1，0，1），C₁（1，1，1），D₁（0，1，1）．
由题意可得，M（1，，0），设P（x₁，y₁，z₁），Q（x₂，y₂，z₂），
则有 0≤x₁≤1，0≤y₁≤1，0≤z₁≤1，0≤x₂≤1，0≤y₂≤1，0≤z₂≤1．
∴向量=（1，，0），向量 =（ x₂-x₁，y₂-y₁，z₂-z₁），
可得 =（x₂-x₁）+．
当Q在BCCB₁平面，P在ADDA₁平面时，x₂-x₁=1-0=1，为最大值，
当Q在DCCD₁平面，P在ABBA₁平面时，y₂-y₁=1-0=1，为最大值，
故当P在AA₁上，Q在CC₁上， 有最大值，此时，=1+=，
故选C．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，建立空间坐标系，求得有关点及向量的坐标，是解题的关键，属于中档题．