Question

数列{a_n}中，an=

1

n+1 + n

（其中n∈N^*），若其前n项和S_n=9，则n=

99

．

Answer 1

分析：根据题意，将a_n变形为为a_n=

n+1

-

n

，由裂项相消法可得数列的前n项和S_n=

n+1

-1，结合题意，可得

n+1

-1=9，解可得n的值．

解答：解：根据题意，an=

1

n+1 + n

=

n+1 - n

( n+1 + n )( n+1 - n )

=

n+1

-

n

，
则S_n=（

2

-1）+（

3

-

2

）+…+（

n+1

-

n

）=

n+1

-1，
若S_n=9，则

n+1

-1=9，
解可得n=99；
故答案为：99．

点评：本题考查用裂项相消法求数列的和，关键是分析数列通项的特点，将an=

1

n+1 + n

变形为a_n=

n+1

-

n

．