Question

（本题满分14分）

       如图，已知直三棱柱ABC—A₁B₁C₁，，E是棱CC₁上动点，F是AB中点，

   （1）求证：；

   （2）当E是棱CC₁中点时，求证：CF//平面AEB₁；

   （3）在棱CC₁上是否存在点E，使得二面角

A—EB₁—B的大小是45°，若存在，求CE

的长，若不存在，请说明理由。

Answer 1

（本题满分14分）

   （1）证明：三棱柱ABC—A₁B₁C₁是直棱柱，

       平面ABC   1分

       °，AC=BC=2，F是AB中点

           2分

       又      3分

       平面ABB。  4分

   （2）证明：取AB₁的中点G，联结EG，FG

       分别是棱AB、AB₁中点，

      

       又

       四边形FGEC是平行四边形，6分

         7分

       平面AEB₁，平面AEB₁     8分

       平面AEB₁。 9分

   （3）解：以C为坐标原点，射线CA，CB，CC₁为轴正半轴，

       建立如图所示的空间直角坐标系

       则C（0，0，0），A（2，0，0），B₁（0，2，4） 10分

       设，平面AEB₁的法向量

       则

       且

       于是

       所以

       取 12分

       三棱柱ABC—A₁B₁C₁是直棱柱，

       平面ABC，

       又平面ABC

      

      

      

      

       平面ECBB₁   

       是平面EBB₁的法向量，

      

       二面角A—EB₁—B的大小是45°，

       则 13分

       解得

       在棱CC₁上存在点E，使得二面角A—EB₁—B的大小是45°。

       此时   14分