Question

已知点P是抛物线y²=2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A（，4），则|PA|+|PM|的最小值是________．

Answer 1

分析：由题意利用抛物线的定义可得，当A、P、M共线时，|PA|+|PM|取得最小值，由此求得答案．
解答：抛物线焦点F（，0），准线x=-，延长PM交准线于N，由抛物线定义|PF|=|PN|，
∵|PA|+|PM|+|MN|=|PA|+|PN|=|PA|+|PF|≥|AF|=5，而|MN|=，∴PA|+|PM|≥5-=，
当且仅当A，P，F三点共线时，取“=”号，此时，P位于抛物线上，∴|PA|+|PM|的最小值为 ，
故答案为 ．

点评：本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．