Question

已知点P是抛物线y²=2x上的动点，过点P作y轴垂线PM，垂足为M，点A的坐标是A(

7

2

，4)，则|PA|+|PM|的最小值是（　　）

• A．

  11

  2

• B．4
• C．

  9

  2

• D．5

Answer 1

分析：根据抛物线方程得到抛物线焦点为F（

1

2

，0），并且作出它的准线：x=-

1

2

，延长PM交准线于点N，连接PF、AF，根据抛物线的定义可得得：|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-

1

2

=|PA|+|PF|-

1

2

．再由三角形两边之和大于第三边可得：P点满足|PA|+|PF|≥
|AF|，当且仅当点P落在线段AF上时，|PA|+|PF|=|AF|为最小值，最后根据两点的距离公式得到|PA|+|PF|的最小值为5，同时|PA|+|PM|取到最小值5-

1

2

=

9

2

．

解答：解：∵抛物线方程为y²=2x
∴抛物线的焦点为F（

1

2

，0），准线为x=-

1

2

延长PM交准线于点N，连接PF、AF，根据抛物线的定义得：|PF|=|PN|
∴|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-

1

2

=|PA|+|PF|-

1

2

当P点不在AF上时，有|PA|+|PF|＞|AF|；
当P点刚好落在AF上时，有|PA|+|PF|=|AF|
∴P点满足|PA|+|PF|≥|AF|，
当且仅当点P落在线段AF上时，|PA|+|PF|=|AF|为最小值，
所以|PA|+|PF|的最小值为

( 7 2 -  1 2 )2+(4-0) 2

=5，
同时|PA|+|PM|的最小值是|PA|+|PN|-

1

2

=|PA|+|PF|-

1

2

=

9

2

故选C

点评：本题给出抛物线上一个动点P在y轴上的射影点为M，求点P到M点和A（3.5，4）的距离之和的最小值，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质和两点间的距离公式等知识点，属于中档题．