Question

【题目】已知函数在上的最大值为.

（1）求的解析式；

（2）讨论的零点的个数.

Answer 1

【答案】（1）（2）有且仅有个零点

【解析】

（1）由，求导得到，根据函数在上的最大值为，利用唯一的极值点为最值点求解.

（2）由（1）得到，求导，设，分，， ， 四种情况用导数法结合零点存在定理求解.

（1）由，得，

令，得；令，得，

∴的单调递增区间是，单调递减区间是.

故在处有极大值，也是的最大值，

所以，∴，

故.

（2）∵，

∴，

设，

（i）当时，∴，所以单调递减.

又，，从而在上存在唯一零点.也即在上存在唯一零点.

（ii）当时，，所以在上单调递减，

因为，，

所以存在，，且在上，在上，

所以为在上的最大值，

又因为，，

所以在上恒大于零，无零点.

（iii）当时，，所以在上单调递减.

，所以在上单调递增.

又，，

所以在上存在唯一零点.

（iiii）当时，，

设，

∴，

所以在上单调递减，所以，即.

∴在上单调递减，

因为，所以在上单调递增，

因为，，

所以在无零点，

综上，有且仅有个零点.