Question

【题目】已知椭圆 的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，定义：△F1BF2为椭圆C的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点 是椭圆 的一个焦点，且C1上任意一点到它的两焦点的距离之和为4．
（1）若椭圆C2与椭圆C1相似，且C2与C1的相似比为2：1，求椭圆C2的方程；
（2）已知点P（m，n）（mn≠0）是椭圆C1上的任意一点，若点Q是直线y=nx与抛物线 异于原点的交点，证明：点Q一定在双曲线4x2﹣4y2=1上；
（3）已知直线l：y=x+1，与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆为Cb ， 是否存在正方形ABCD，（设其面积为S），使得A、C在直线l上，B、D在曲线Cb上？若存在，求出函数S=f（b）的解析式及定义域；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：椭圆的一个焦点为 ，|PF1|+|PF2|=2a=4，

∴b2=a2﹣c2=1，则椭圆C1： ，

设C2： ，相似比为2，a2=4；b2=2，

∴椭圆C2：

（2）证明：点P（m，n）在椭圆上，则 ，设点Q（x0，y0），

， ，

∴4x02﹣4y02= ﹣ = = =1，

∴点Q在双曲线4x2﹣4y2=1上

（3）解：椭圆C1： ，相似比为b，则椭圆Cb的方程为： ，

由题意：只需Cb上存在两点B、D关于直线y=x+1对称即可

设BD：y=﹣x+m，设BD中点为E（x0，y0），B（x1，y1），D（x2，y2），

，5x2﹣8mx+4m2﹣4b2=0，

△=64m2﹣16×5×（m2﹣b2）＞0，5b2＞m2，

由韦达定理知：x0= ，y0=﹣x0+m= m，

E（x0，y0）在直线y=x+1上，

则 m= +1

解得：m=﹣ ，∴b2＞ ，则b＞ ，

此时正方形的边长为 ，

∴正方形的面积为S=f（b）=（ ）2，

丨BD丨= = ，

∴函数S=f（b）的解析式： ，定义域为

【解析】（1）由题意c= ，a=2，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆C1的方程，根据相似比2，a2=4；b2=2，即可求得椭圆C2的方程；（2）由题设条件知 ，设点Q（x0，y0），由题设条件能推出 ，即可求得 ，即可求得4x2﹣4y2=1；（3）椭圆C1： ，相似比为b，则椭圆Cb的方程，由题意：只需Cb上存在两点B、D关于直线y=x+1对称即可．设BD：y=﹣x+m，代入椭圆方程，设BD中点为E（x0，y0），然后利用根与系数的关系进行求解．