Question

若圆C过点M（0，1）且与直线l：y=-1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点P(0，t)(t＞0)，且满足

AP

=λ

PB

(λ＞1)．
（I）求曲线E的方程；
（II）若t=6，直线AB的斜率为

1

2

，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；
（III）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l上，求证：t与

QA

•

QB

均为定值．

Answer 1

分析：（1）由点C到定点M的距离等于到定直线l的距离与抛物线的定义可得点C的轨迹为抛物线所以曲线E的方程为x²=4y．
（2）由题得直线AB的方程是x-2y+12=0联立抛物线的方程解得A（6，9）和B（-4，4），进而直线NA的方程为y=-

1

3

x+11，由A，B两点的坐标得到线段AB中垂线方程为y=-2x+

17

2

，可求N点的坐标，进而求出圆N的方程(x+

3

2

)2+(y-

23

2

)2=

125

2

．
（3）设A，B两点的坐标，由题意得过点A的切线方程为y=-2x+

17

2

又Q（a，-1），可得x₁²-2ax₁-4=0同理得x₂²-2ax₂-4=0所以x₁+x₂=2a，x₁x₂=-4．所以直线AB的方程为
y=

a

2

x+1所以t=-1．根据向量的运算得

QA

•

QB

= x1x2-a(x1+x2)+a2+

x 1 2 x 2 2

16

+

(x1+x2)2-2x1x2

4

+1=0．

解答：【解】（Ⅰ）依题意，点C到定点M的距离等于到定直线l的距离，所以点C的轨迹为抛物线，曲线E的方程为x²=4y．
（Ⅱ）直线AB的方程是y=

1

2

x+6，即x-2y+12=0．
由{_x2=4y，x-2y+12=0，及

AP

=λ

PB

(λ＞1)知|

AP

|＞|

PB

|，得A（6，9）和B（-4，4）
由x²=4y得y=

1

4

x2，y′=

1

2

x．
所以抛物线x²=4y在点A处切线的斜率为y'|_x=6=3．
直线NA的方程为y-9=-

1

3

(x-6)，即y=-

1

3

x+11．①
线段AB的中点坐标为(1，

13

2

)，线段AB中垂线方程为y-

13

2

=-2(x-1)，即y=-2x+

17

2

．②
由①、②解得N(-

3

2

，

23

2

)．
于是，圆C的方程为(x+

3

2

)2+(y-

23

2

)2=(-4+

3

2

)2+(4-

23

2

)2，
即(x+

3

2

)2+(y-

23

2

)2=

125

2

．
（Ⅲ）设A(x1，

x12

4

)，B(x2，

x22

4

)，Q（a，-1）．过点A的切线方程为y-

x 2 1

4

=

x1

2

(x-x1)，
即x₁²-2ax₁-4=0．同理可得x₂²-2ax₂-4=0，所以x₁+x₂=2a，x₁x₂=-4．
又kAB=

x12 4 - x22 4

x1-x2

=

x1+x2

4

，所以直线AB的方程为y-

x12

4

=

x1+x2

4

(x-x 1)，
即y=

x1+x2

4

x-

x1x2

4

，亦即y=

a

2

x+1，所以t=-1．
而

QA

=(x1-a，

x12

4

+1)，

QB

=(x2-a，

x22

4

+1)，
所以

QA

•

QB

=(x1-a)(x2-a)+(

x 2 1

4

+1)(

x 2 2

4

+1)
=x1x2-a(x1+x2)+a2+

x 2 1 x 2 2

16

+

(x1+x2)2-2x1x2

4

+1
=-4-2a2+a2+1+

4a2+8

4

+1=0．

点评：本题主要考查抛物线的定义和直线与曲线的相切问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是高考常考的知识点．