Question

若圆C过点M（0，1）且与直线相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B（A在y轴的右侧）为曲线E上的两点，点，且满足

   （Ⅰ）求曲线E的方程；

   （Ⅱ）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；

   （Ⅲ）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点，若点恰好在直线上，求证：t与均为定值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.（Ⅱ）.（Ⅲ）t与均为定值.

【解析】（I）由于圆心C到定点M的距离与到定直线y=-1的距离相等，所以其轨迹为抛物线其方程为.

(II)因为t=6,所以直线AB的斜率为,直线AB的方程是.然后与抛物线方程联立求出A、B的坐标.再利用导数求出点A处的切线的斜率，进而确定NA的斜率，求出NA的方程.再求出AB的垂直平分线方程与NA的方程联立，可求出圆心N的坐标，进而可求出半径的值，写出圆N的方程.

(III) 设,由题意可知,从而可知是方程即的两根,得到,

再根据A，P，B共线,斜率相等可求出t的值.

然后根据

可证明也为定值