Question

【题目】如图所示，在直角坐标系中，点到抛物线：的准线的距离为.点是上的定点，，是上的两动点，且线段的中点在直线上.

（1）求曲线的方程及点的坐标；

（2）记，求弦长（用表示）；并求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）..（2），的最大值为1.

【解析】

（1）根据抛物线的定义，求出，即可得出抛物线的方程，便得出点的坐标；

（2）由点，得出，利用点差法求出直线的斜率，得出直线的方程为，直线方程与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式求出弦长，通过基本不等式求得的最大值.

解：（1）的准线为，

∴，∴，

∴抛物线的方程为.

又点在曲线上，∴.

故.

（2）由（1）知，点，

从而，即点，

依题意，直线的斜率存在，且不为0，

设直线的斜率为，且，，

由，得，

故，

所以直线的方程为，

即.

由，消去，

整理得，

所以，，.

从而

.

∴，

当且仅当，即时，上式等号成立，

又满足.

∴的最大值为1.