Question

已知f（x）是偶函数，且f（2+x）=f（2-x），当-2≤x≤0时，f（x）=2^x，若n∈N^*，a_n=f（n），则a₂₀₀₉=________．

Answer 1

分析：先根据f（2+x）=f（2-x）?f（4+x）=f（-x），再结合其为偶函数，得到周期为4；最后结合当-2≤x≤0时，f（x）=2^x，即可求出结论．
解答：因为f（2+x）=f（2-x），?f（4+x）=f（-x），
∵f（x）是偶函数，
∴f（4+x）=f（x）．
故函数周期为4．
∴a₂₀₀₉=f（2009）=f（1+4×1002）=f（1）．
∵当-2≤x≤0时，f（x）=2^x，
∴f（1）=f（-1）=2^-1=．
即 a₂₀₀₉=．
故答案为：．
点评：本题主要考查函数的奇偶性以及周期性的应用．解决本题的关键在于利用f（2+x）=f（2-x）?f（4+x）=f（-x），再结合其为偶函数，得到周期为4．