Question

已知函数，（x∈R）．
（Ⅰ）求证：不论a为何实数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；
（Ⅱ）若f（x）为奇函数，求a的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求f（x）在区间[1，5）上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据函数的单调性的定义进行判定，任取x₁＜x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符号，从而得到结论；
（II）根据奇函数的定义建立等式关系，解之即可求出a的值；
（III）根据函数在R上单调递增，求出函数f（x）在区间[1，5）上的最小值即可．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）的定义域为R，任取x₁＜x₂，
则=．
∵x₁＜x₂，
∴．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以不论a为何实数f（x）总为增函数．（4分）
（Ⅱ）∵f（x）在x∈R上为奇函数，
∴f（0）=0，即．
解得 ．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，
由（Ⅰ） 知，f（x）为增函数，
∴f（x）在区间[1，5）上的最小值为f（1）．
∵，
∴f（x）在区间[1，5）上的最小值为．（12分）
点评：本题主要考查了函数的单调性和奇偶性，以及函数的最值，属于中档题．