Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面，，，，是的中点．

（1）证明；

（2）若，

（i）求直线与平面所成角的正弦值；

（ii）设平面与侧棱交于，求.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）（i）；（ii）

【解析】

（1）证明，即可证面，从而得到结论；

（2）（i）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出相关点和向量的坐标，列方程求出面的法向量为，最后利用公式即可得到结果；（ii）根据（i）的结论，设，则，由此计算得到，又，求出，从而得到结果.

（1）因为面，平面，所以，

因为，，所以面，因为平面，所以；

（2）（i）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系：

则，，，，

所以，，.

设面的法向量为，则，所以，

设直线与面所成角为，，

故直线与平面所成角的正弦值为；

（ii），，设，，

，，

所以，则，

又，所以，所以.