Question

已知数列{a_n}满足：a₁=2且（n∈N^*）
（1）求证：数列为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题得：a_n+1（a_n+n）=2（n+1）a_n，即a_na_n+1+na_n+1=2（n+1）a_n，故．由此能够数列为等比数列，并能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由，知，由此能够证明（n∈N^*）．
解答：（本小题满分14分）
解：（1）由题得：a_n+1（a_n+n）=2（n+1）a_n，
即a_na_n+1+na_n+1=2（n+1）a_n，
故即数列为等比数列，…（3分）
∴，
∴…（7分）
（2）由（1）知…（8分）
∴
…（14分）
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列、不等式知识．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．