Question

15．如图，在多面体ABCDE中，∠BAC=90°，AB=AC=2，CD=2AE=2，AE∥CD，且AE⊥底面ABC，F为BC的中点．
（Ⅰ）求证：AF⊥BD；
（Ⅱ）求二面角A-BE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AF⊥BC，从而AF⊥DC，进而AF⊥面BCD，由此能证明AF⊥BD．
（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BE-D的余弦值．

解答 证明：（1）∵AB=AC，F为BC的中，
∴AF⊥BC，又AE∥CD，且AE⊥底面ABC，AF?底面ABC，
∴AF⊥DC，又BC∩DC=C，且BC、DC?面BCD，
∴AF⊥面BCD，又BD?面BCD，∴AF⊥BD．…（4分）
解：（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系如图，
∴B（2，0，0），D（0，2，2），E（0，0，1），
$\overrightarrow{BE}=（-2，0，1）$，$\overrightarrow{ED}=（0，2，1）$，
设面BED的一个法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=-2x+z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ED}=2y+z=0}\end{array}\right.$，令z=2得x=1，y=-1，∴$\overrightarrow m=（1，-1，2）$，
又面ABE的一个法向量为$\overrightarrow{AC}=（0，2，0）$，
∴$cos\left?{\overrightarrow m•\overrightarrow{AC}}\right＞=\frac{{\overrightarrow m•\overrightarrow{AC}}}{{\left|{\overrightarrow m}\right|•\left|{\overrightarrow{AC}}\right|}}=\frac{-2}{{\sqrt{6}•2}}=-\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，
∵二面角A-BE-D的平面角是锐角，
∴二面角A-BE-D的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．…（12分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．