Question

4．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}\right.，（t为参数）$，当t=-1时，对应曲线C₁上一点A，且点A关于原点的对称点为B．以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为$ρ=\frac{6}{{\sqrt{9+3{{sin}^2}θ}}}$．
（1）求A，B两点的极坐标；
（2）设P为曲线C₂上的动点，求|PA|²+|PB|²的最大值．

Answer 1

分析 （1）将t=-1代入得A，B的坐标，即可得到结论．
（2）求出曲线C₂上的直角坐标方程，设P的坐标，结合两点间的距离公式进行求解即可．

解答 解：（1）经t=-1代入C₁得x=3，y=-$\sqrt{3}$，
则A（3，-$\sqrt{3}$），B（-3，$\sqrt{3}$），它们的极坐标为A（2$\sqrt{3}$，$\frac{11π}{6}$），B（2$\sqrt{3}$，$\frac{5π}{6}$）．
（2）曲线C₂的极坐标方程为$ρ=\frac{6}{{\sqrt{9+3{{sin}^2}θ}}}$．
平方得ρ²=$\frac{36}{9+3sin^2θ}$=$\frac{12}{3+sin^2θ}$，
即3ρ²+ρ²sin²θ=12，
即3x²+3y²+y²=12，
即3x²+4y²=12，
即$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
设P（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），
则|PA|²+|PB|²=（2cosθ-3）²+（$\sqrt{3}$sinθ+$\sqrt{3}$）²+（2cosθ+3）²+（$\sqrt{3}$sinθ-$\sqrt{3}$）²
=2（4cos²θ+3sin²θ+12）=2（15+cos²θ），
∵cos²θ≤1，∴PA|²+|PB|²=2（15+cos²θ）≤32，
即|PA|²+|PB|²的最大值是32．

点评 本题主要考查极坐标和参数坐标的应用，根据极坐标和参数坐标转换为直角坐标是解决本题的关键．