Question

（2013•朝阳区二模）为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”．比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：

成绩等级	A	B	C	D	E
成绩（分）	90	70	60	40	30
人数（名）	4	6	10	7	3

（Ⅰ）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，记X表示抽到成绩等级为“A或B”的学生人数，求X的分布列及其数学期望EX；
（Ⅲ）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率．

Answer 1

分析：（I）本题是一个统计问题，根据统计数据，从而得出从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率得到结果．
（II）由题意知由题意知随机变量X可取0，1，2，3，结合变量对应的事件和等可能事件的概率公式写出变量的概率，写出分布列和做出期望值．
（III）设事件M：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分．设从这30名学生中，随机选取2人，记两个人的成绩分别为m，n．得到基本事件的总数，不妨设m＞n，再对m，n的取值情形进行分类讨论算出各自的基本事件数，最后根据概率公式计算即可求得事件M的概率．

解答：解：（I）根据统计数据可知，从本地区参加“数独比赛”的30名小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率为

4

30

+

6

30

=

1

3

，
即从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率为

1

3

．
（II）由题意知随机变量X可取0，1，2，3，
∴P（X=0）=C

0 3

（

1

3

）⁰（

2

3

）³=

8

27

；P（X=1）=C

1 3

（

1

3

）¹（

2

3

）²=

4

9

；
P（X=2）=C

2 3

（

1

3

）²（

2

3

）=

2

9

；
P（X=3）=C

3 3

（

1

3

）³（

2

3

）⁰=

1

27

；
所以X的分布列为（必须写出分布列，否则扣1分）

X	0	1	2	3
P	8 27	4 9	2 9	1 27

…（11分）
故Eξ=0×

8

27

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

1

27

=1，所求期望值为1．
（III）设事件M：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分．
设从这30名学生中，随机选取2人，记两个人的成绩分别为m，n．
则基本事件的总数为

C

2 30

，
不妨设m＞n，
当m=90时，n=60或40或30，基本事件的数为C

1 4

（C

1 10

+C

1 7

+C

1 3

）；
当m=70时，n=40或30，基本事件的数为C

1 6

（C

1 7

+C

1 3

）；
当m=60时，n=30，基本事件的数为C

1 10

C

1 3

；
∴P（M）=

C 1 4 ( C 1 10 + C 1 7 + C 1 3 )+ C 1 6 ( C 1 7 + C 1 3 )+ C 1 10 C 1 3

C 2 30

=

34

87

．
∴从这30名学生中，随机选取2人，“这两个人的成绩之差大于20分”的概率为

34

87

．

点评：本题考查等可能事件的概率，考查相互独立事件同时发生的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个典型的综合题目．