Question

函数f（x）=a^x-1+3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P，且点P在直线mx+ny-1=0（m＞0且n＞0）上，则

1

m

+

4

n

的最小值是

25

．

Answer 1

分析：当x=1时，f（1）=a⁰+3=4，函数f（x）恒过定点P（1，4）．由点P在直线mx+ny-1=0（m＞0且n＞0）上，可得m+4n=1．利用基本不等式可得

1

m

+

4

n

=(m+4n)(

1

m

+

4

n

)．

解答：解：当x=1时，f（1）=a⁰+3=4，函数f（x）恒过定点P（1，4）．
∵点P在直线mx+ny-1=0（m＞0且n＞0）上，∴m+4n=1．
∴

1

m

+

4

n

=(m+4n)(

1

m

+

4

n

)=17+

4n

m

+

4m

n

≥17+2×4×

n m × m n

=25，当且仅当m=n=

1

5

时取等号．
∴

1

m

+

4

n

的最小值是25．
故答案为25．

点评：熟练掌握指数函数的性质、基本不等式的性质是解题的关键．