Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为6，动点M在棱A₁B₁上．
（1）求证：DM⊥AD₁；
（2）当M为A₁B₁的中点时，求CM与平面DC₁所成角的正弦值；
（3）当A₁M=

3

4

A₁B₁时，求点C到平面D₁DM的距离．

Answer 1

分析：（1）连A₁D、B₁C，由正方体性质，AD₁⊥A₁D，A₁B₁⊥AD₁证出AD₁⊥平面A₁DCB₁，即可证出AD₁⊥DM．
（2）在平面A₁C₁内过点M作MN∥B₁C₁，交D₁C₁于N，则∠MCN为CM与平面DC₁所成角．在三角形MNC中求出．
（3）由于CC1∥平面D₁DMC，将点C到平面D₁DM的距离．转化成C₁到平面D₁DM的距离，作C₁H⊥D₁M于点H，证出C₁H⊥平面D₁DM，则C₁H为所求距离．

解答：解：（1）证明：连A₁D、B₁C，由正方体性质，AD₁⊥A₁D，A₁B₁⊥AD₁
∴AD1⊥平面A1DCB1
DM?平面A₁DCB₁，∴AD1⊥DM
（2）在平面A₁C₁内过点M作MN∥B₁C₁，交D₁C₁于N，
则MN⊥平面DC₁，连NC．
则∠MCN为CM与平面DC₁所成角　…（6分）
∵MN=B₁C₁=6，MC=

B1C2+MB12

=9
∴sin∠MCN=

MN

MC

=

2

3

，即所求正弦值为

2

3

．…（8分）
（3）连C₁M，作C₁H⊥D₁M于点H，∵DD₁⊥平面A₁C₁∴D₁D⊥C₁H
∵CC₁∥D₁D
D₁D?平面D₁DM
CC₁?平面D₁DM
∴CC₁∥平面D₁DM
连C₁M，作C₁H⊥D₁M于点H，∵DD₁⊥平面A₁C₁∴D₁D⊥C₁H
∴C₁H⊥平面D₁DM，C₁H为C₁到平面D₁DM的距离即 C到平面D₁DM的距离为C₁H…（10分）
∵

1

2

C₁H•D₁M=S_△D1C1M=18，而D₁M=

A1D12+A1M2

=

15

2

 
∴C₁H=

24

5

∴C到平面D₁DM的距离为

24

5

…（12分）

点评：本题主要考查空间角，距离的计算，线面垂直，面面垂直的定义，性质、判定，考查了空间想象能力、计算能力，分析解决问题能力．空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法．