Question

已知函数f（x）=

-x3+ax2+bx，  (x＜1) clnx，     (x≥1)

的图象在点（-2，f（-2））处的切线方程为16x+y+20=0．
（1）求实数a、b的值；
（2）求函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值；
（3）曲线y=f（x）上存在两点M、N，使得△MON是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边MN的中点在y轴上，求实数c的取值范围．

Answer 1

（1）当x＜1时，f′（x）=-3x²+2ax+b．
因为函数图象在点（-2，f（-2））处的切线方程为16x+y+20=0，所以切点坐标为（-2，12），
所以

f(-2)=8+4a-2b=12 f′(-2)=-12-4a+b=-16

，所以a=1，b=0；
（2）由（1）得，当x＜1时，f（x）=-x³+x²，
令f′（x）=-3x²+2x=0可得x=0或x=

2

3

，故函数在（-1，0）和（

2

3

，1）上单调递减，在（0，

2

3

）上单调递增
∴x＜1时，f（x）的最大值为max{f（-1），f（

2

3

）}=f（-1）=2；
当1≤x≤2时，f（x）=clnx
当c≤0时，clnx≤0恒成立，f（x）≤0＜2，此时f（x）在[-1，2]上的最大值为f（-1）=2；
当c＞0时，f（x）在[-1，2]上单调递增，且f（2）=cln2
令cln2=2，则c=

2

ln2

，∴当c＞

2

ln2

时，f（x）在[-1，2]上的最大值为f（2）=cln2；
当0＜c≤

2

ln2

时，f（x）在[-1，2]上的最大值为f（-1）=2
综上，当c≤

2

ln2

时，f（x）在[-1，2]上的最大值为2，当c＞

2

ln2

时，f（x）在[-1，2]上的最大值为cln2；
（3）f（x）=

-x3+x2，  (x＜1) clnx，     (x≥1)

，
根据条件M，N的横坐标互为相反数，不妨设M（-t，t³+t²），N（t，f（t）），（t＞0）．
若t＜1，则f（t）=-t³+t²，
由∠MON是直角得，

OM

•

ON

=0，即-t²+（t³+t²）（-t³+t²）=0，
即t⁴-t²+1=0．此时无解；
若t≥1，则f（t）=clnt．
由于MN的中点在y轴上，且∠MON是直角，所以N点不可能在x轴上，即t≠1．
同理由

OM

•

ON

=0，即-t²+（t³+t²）•clnt=0，∴c=

1

(t+1)lnt

．
由于函数g（t）=

1

(t+1)lnt

（t＞1）的值域是（0，+∞），实数c的取值范围是（0，+∞）即为所求．