题目内容
2008年奥运会的一套吉祥物有五个，分别命名：“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”，称“奥运福娃”．甲、乙两位小学生各有一套吉祥物，现以投掷一个骰子的方式进行游戏，规则如下：当出现向上的点数是奇数时，甲将赢得乙一个福娃；否则乙赢得甲一个福娃．现规定掷骰子的总次数达9次时，或在此前某学生已赢得所有福娃时游戏终止，记游戏终止时投掷骰子的总次数为ξ．
（1）求掷骰子的次数为7的概率；
（2）求ξ的分布列及数学期望Eξ．
（1）求掷骰子的次数为7的概率；
（2）求ξ的分布列及数学期望Eξ．
分析：（1）首先可以分析得到甲赢或乙赢的概率均为
，若第7次甲赢意味着“第七次甲赢，前6次赢5次，但根据规则，前5次中必输1次”．若乙赢同样．故可根据二项分布列出式子求解即可．
（2）可以设奇数出现的次数为m，偶数出现的次数为n．然后根据题意列出关系式，求出可能的m n的值又ξ=m+n，求出ξ的可能取值，然后分别求出概率即可得到ξ的分布列，再根据期望公式求得Eξ即可．
| 1 |
| 2 |
（2）可以设奇数出现的次数为m，偶数出现的次数为n．然后根据题意列出关系式，求出可能的m n的值又ξ=m+n，求出ξ的可能取值，然后分别求出概率即可得到ξ的分布列，再根据期望公式求得Eξ即可．
解答：解：（1）当ξ=7时，若甲赢意味着“第七次甲赢，前6次赢5次，
但根据规则，前5次中必输1次”，由规则，每次甲赢或乙赢的概率均为
，
因此P（ξ=7）=2
（
）•（
）4•
•
=
．
（2）设游戏终止时骰子向上的点数是奇数出现的次数为m，
向上的点数是偶数出现的次数为n，
则由
，可得：
当m=5，n=0或m=0，n=5时，ξ=5；
当m=6n=1或m=1，n=6时，ξ=7
当m=7，n=2或m=2，n=7时，ξ=9．
因此ξ的可能取值是5、7、9
每次投掷甲赢得乙一个福娃与乙赢得甲一个福娃的可能性相同，其概率都是
=
．
P（ξ=5）=2×（
）5=
，P（ξ=7）=
，P（ξ=9）=1-
-
=
所以ξ的分布列是：
故Eξ=5×
+7×
+9×
=
．
但根据规则，前5次中必输1次”，由规则，每次甲赢或乙赢的概率均为
| 1 |
| 2 |
因此P（ξ=7）=2
| C | 1 5 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 64 |
（2）设游戏终止时骰子向上的点数是奇数出现的次数为m，
向上的点数是偶数出现的次数为n，
则由
|
当m=5，n=0或m=0，n=5时，ξ=5；
当m=6n=1或m=1，n=6时，ξ=7
当m=7，n=2或m=2，n=7时，ξ=9．
因此ξ的可能取值是5、7、9
每次投掷甲赢得乙一个福娃与乙赢得甲一个福娃的可能性相同，其概率都是
| 3 |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
P（ξ=5）=2×（
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 16 |
| 5 |
| 64 |
| 1 |
| 16 |
| 5 |
| 64 |
| 55 |
| 64 |
所以ξ的分布列是：
| ξ | 5 | 7 | 9 | ||||||
| P |
|
|
|
| 1 |
| 16 |
| 5 |
| 64 |
| 55 |
| 64 |
| 275 |
| 32 |
点评：此题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的求法，其中涉及到实际应用问题，对学生灵活应用能力要求较高．这类题型在高考中的比重日益增加，同学们要多加注意．
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