Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n,a₁=t,2a_n+1=-3S_n+4(n∈N^*)

(1)当t为何值时,数列{a_n}是等比数列?

(2)在(1)的条件下,设b_n=λa_n-n²,若数列{b_n}中有b₁>b₂,b₃>b₄,…,b_2n-1>b_2n…成立,求实数λ的取值范围.

Answer 1

【解析】(1)由2a_n+1=-3S_n+4得

2a_n=-3S_n-1+4(n≥2),两式相减得

2a_n+1-2a_n=-3a_n,

所以a_n+1=-a_n(n≥2),

要使n≥1时,{a_n}为等比数列,只需==-,

所以t=2.

(2)由(1)得a_n=2·,

因为b_n=λa_n-n²=2λ-n²且b_2n-1>b_2n,

所以2λ-(2n-1)²>2λ-(2n)²,

即2λ>(2n-1)²-(2n)²,

因此有λ>-,而-单调递减,

当n=1时取得最大值为-1,所以λ>-1.