题目内容

已知在正整数数列{an}中,前n项和Sn满足:Sn=(an+2)2,

(1)求证:{an}是等差数列;

(2)若bn=an-30,求数列{bn}的前n项和的最小值.

(1)证明:由Sn=(an+2)2,         ①

    则Sn-1=(an-1+2)2.           ②

    当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an+2)2-(an-1+2)2,

    整理得(an+an-1)(an-an-1-4)=0.

∴an-an-1=4,即{an}为等差数列.

(2)解:∵S1=(a1+2)2,

∴a1=(a1+2)2,解得a1=2.

∴bn=an-30=［a1+4(n-1)］-30=2n-31.

    令bn＜0,得n＜.

∴S15为前n项和的最小值,

S15=b1+b2+…+b15=2(1+2+…+15)-15×31=-225.


练习册系列答案
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已知点（n，an）（n∈N*）在函数f（x）=-6x-2的图象上，数列{an}的前n项和为Sn．
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（Ⅲ）设g（x）是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数x1、x2，恒有g（x1x2）=x1g（x2）+x2g（x1）成立，且g（2）=a（a为常数，且a≠0），记bn=
g(
dn+1
2
)
dn+1
，试判断数列{bn}是否为等差数列，并说明理由．
已知点（n，an）（n∈N*）在函数f（x）=-2x-2的图象上，数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn是6Sn与8n的等差中项．
（1）求数列{bn}的通项公式；
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（3）设g（x）是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数x1，x2，恒有g（x1x2）=x1g（x2）+x2g（x1）成立，且g（2）=a（a为常数，a≠0），试判断数列{
g(
dn+1
2
)
dn+1
}是否为等差数列，并说明理由．
设C1，C2，…，Cn，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y=
3
3
x相切，对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半径，以（λn，0）表示Cn的圆心，已知{rn}为递增数列．
（1）证明{rn}为等比数列（提示：
rn
λn
=sinθ，其中θ为直线y=
3
3
x的倾斜角）；
（2）设r1=1，求数列{
n
rn
}的前n项和Sn；
（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n恒有不等式Sn＞
9
4
-
an
rn
成立，求实数a的取值范围．
已知正整数数列{an}中，a1=3，且对于任意大于1的整数n，点(
an
，
an-1
)总在直线x-y-
3
=0上，则
lim
n→+∞
an
(n+1)2
=（　　）
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