Question

在平面直角坐标系中，动点P到两条直线3x-y=0与x+3y=0的距离之和等于4，则P到原点距离的最小值为

 

．

Answer 1

分析：先确定两条直线满足垂直关系，设出点到直线的距离分别为a，b，然后根据条件得到a+b=4，利用二次函数的性质即可求P到原点距离的最小值．

解答：解：∵3x-y=0与x+3y=0的互相垂直，且交点为原点，
∴设P到直线的距离分别为a，b，则a≥0，b≥0，
则a+b=4，即b=4-a≥0，
得0≤a≤4，
由勾股定理可知OP=

a2+b2

=

a2+(4-a)2

=

2a2-8a+16

=

2(a-2)2+8

，
∵0≤a≤4，
∴当a=2时，OP的距离最小为OP=

a2+b2

=

2(a-2)2+8

≥

8

=2

2

，
故答案为：2

2

．

点评：本题主要考查点到距离的公式，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键．