题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ （a∈R）
①若a＞0，则f（x）的定义域是；
②若f（x）在区间（0，2]上是减函数，则实数a的取值范围是．

（-∞， $\text{[math]}$ ] （-∞，0）∪（2，3]
分析：①要使函数有意义，需被开放数大于或等于零，解不等式即可得函数定义域
②此函数为复合函数，外层函数与内层函数的单调性都与a有关，故需讨论a的正负及a与2的大小，利用复合函数单调性的判断方法，（0，2]应为函数减区间的子区间，即可解得a的范围
解答：①欲使函数f（x）= $\text{[math]}$ （a∈R）成立，需满足6-ax≥0，即ax≤6．
∵a＞0，∴x≤ $\text{[math]}$ ，
∴f（x）的定义域是（-∞， $\text{[math]}$ ]，
故答案为（-∞， $\text{[math]}$ ]
②函数f（x）= $\text{[math]}$ （a∈R）
若a＞2，则函数f（x）的定义域为（-∞， $\text{[math]}$ ]，
内层函数t=6-ax为减函数，外层函数y= $\text{[math]}$ 为增函数，
故函数f（x）在（-∞， $\text{[math]}$ ]上为减函数，
∴（0，2]⊆（-∞， $\text{[math]}$ ]，
∴ $\text{[math]}$ ≥2，即2＜a≤3
若a=0，则函数为常函数，不合题意
若0＜a＜2，则函数f（x）的定义域为（-∞， $\text{[math]}$ ]，
内层函数t=6-ax为减函数，外层函数y= $\text{[math]}$ 为减函数，
故函数f（x）在（-∞， $\text{[math]}$ ]上为增函数，
不合题意
若a＜0，则函数f（x）的定义域为（ $\text{[math]}$ ，+∞]，
内层函数t=6-ax为增函数，外层函数y= $\text{[math]}$ 为减函数，
故函数f（x）在（ $\text{[math]}$ ，+∞]上为减函数，
∴（0，2]⊆（ $\text{[math]}$ ，+∞]，
∴ $\text{[math]}$ ≤0，即a＜0
故答案为（-∞，0）∪（2，3]
点评：本题考查了函数的定义域的求法，复合函数单调性的判断方法，分类讨论的思想方法