Question

【题目】设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为坐标原点， 为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 不存在满足条件的点

【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何意义得 解得（2）由知为平行四边形,即的中点也是的中点. 设直线的方程为,联立直线方程与椭圆方程，利用中点坐标公式以及韦达定理得坐标（用t表示），最后根据判别式大于零得t范围，得坐标范围，根据范围不在椭圆范围内，否定存在性

试题解析：（1）由题意知：， aos

又因为， ，解得

故椭圆的方程为．

（2）椭圆上不存在这样的点.事实上，设直线的方程为,

联立，得,

，得.

设，则，.

由知为平行四边形,而为的中点,也是的中点.

于是设, ,则,

即 ，可得.

因为,所以.

若在椭圆上，则，矛盾.

因此,不存在满足条件的点．