Question

已知函数f（x）=x³+ax²-2x+5．
（1）若函数f（x）在（-

1

3

，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，求实数a的值；
（2）是否存在正整数a，使得f（x）在 x∈(-3，

1

6

)上必为单调函数？若存在，试求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可得f′（1）=0，求导数代入数值解方程可得；
（2）假设存在正整数a，要满足题意，只需

f′(-3)≤0 f′( 1 6 )≤0

，解不等式可得

25

6

≤a≤

23

4

，可得答案．

解答：解：（1）∵函数f（x）在（-

1

3

，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴函数f（x）在x=1处取极小值，故f′（1）=0，
求导数可得f′（x）=3x²+2ax-2，可得1+2a=0，解得a=-

1

2

；
（2）假设存在正整数a，使得f（x）在 x∈(-3，

1

6

)上必为单调函数，
则f′（x）=3x²+2ax-2在x∈(-3，

1

6

)上恒大于等于0，或恒小于等于0，
∵△=4a²+12＞0，∴f′（x）=3x²+2ax-2=0必有两不等实根x₁，x₂，
要满足题意只需两根x₁＜-3，x₂＞

1

6

，即

f′(-3)≤0 f′( 1 6 )≤0

，
解得

25

6

≤a≤

23

4

，可知存在正整数a=5满足要求．

点评：本题考查函数的单调性和导数的关系，实际函数的极值问题，属中档题．