Question

已知a，b为正实数，且

1

a

+

2

b

=2，若a+b-c≥0对于满足条件的a，b恒成立，则c的取值范围为（　　）

Answer 1

分析：a+b=（a+b）•

1

2

（

1

a

+

2

b

）=

1

2

（3+

b

a

+

2a

b

），利用基本不等式可求出a+b的最小值（a+b）_min，要使a+b-c≥0对于满足条件的a，b恒成立，只要值（a+b）_min-c≥0即可．

解答：解：a，b都是正实数，且a，b满足

1

a

+

2

b

=2①，
则a+b=（a+b）•

1

2

（

1

a

+

2

b

）=

1

2

（3+

b

a

+

2a

b

）
≥

1

2

（3+2

b a • 2a b

）=

3

2

+

2

，
当且仅当

b

a

=

2a

b

即b=

2

a②时，等号成立．
联立①②解得a=

2 +1

2

，b=

2+ 2

2

，故a+b的最小值为

3

2

+

2

，
要使a+b-c≥0恒成立，只要

3

2

+

2

-c≥0，即c≤

3

2

+

2

，故c的取值范围为（-∞，

3

2

+

2

]．
故选A．

点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件：一正、二定、三相等，以及函数的恒成立问题．