Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2a-1）x+7a-2，x＜1}\\{-a{x}^{2}-1，x≥1}\end{array}\right.$在（-∞，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围[$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 根据分段函数单调性的性质进行求解即可．

解答 解：∵f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
∴当x≥1和x＜1时，分别单调递减，
即当x≥1时，满足-a＜0，即a＞0，
当x＜1时，满足2a-1＜0，即a＜$\frac{1}{2}$，
同时满足2a-1+7a-2≥-a-1，
即10a≥2，得a≥$\frac{2}{10}$=$\frac{1}{5}$，
综上$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a＜\frac{1}{2}}\\{a≥\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{5}$≤a＜$\frac{1}{2}$，
故实数a的取值范围是[$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{2}$），
故答案为：[$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{2}$）

点评 本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质是解决本题的关键．注意端点处的函数值的关系．