Question

在五面体ABCDEF中，AB∥DC，∠BAD=

π

2

，CD=AD=2，四边形ABFE为平行四边形，FA⊥平面ABCD，FC=3，ED=

7

．求：
（Ⅰ）求两异面直线BF与DE所成角的余弦值；
（Ⅱ）FC与平面FAD的所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出两异面直线BF与DE所成角的余弦值．
（Ⅱ）求出

FC

=（2，2，-1），平面FAD的法向量

n

=（1，0，0），利用向量法能求出FC与平面FAD的所成角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）∵AB∥DC，∠BAD=

π

2

，∴CD⊥AD；
又∵FA⊥平面ABCD，
由三垂线定理知CD⊥FD，
∴CD⊥面FAD，
在Rt△ABC中，FD=

FC2-CD2

=

9-4

=

5

，
由FA⊥平面ABCD，得FA⊥AD，
在Rt△FAD中，FA=

FD2-AD2

=

5-4

=1，
由FA⊥平面ABCD，得FA⊥AD，
又由∠BAD=

π

2

，得AD⊥AB，
∴AD⊥平面ABFE，∴DA⊥AE，
在Rt△AED中，AE=

ED2-AD2

=

7-4

=

3

，
∵四边形ABFE为平行四边形，
∴BF=AE=

3

，AB=EF=

3-1

=

2

，
由题意，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，
AF为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（

2

，0，0），F（0，0，1），D（0，2，0），E（-

2

，0，1），
∴

BF

=（-

2

，0，1），

DE

=（-

2

，-2，1），
∴cos＜

BF

，

DE

＞=

2+0+1

3 • 7

=

21

7

，
∴两异面直线BF与DE所成角的余弦值为

21

7

．
（Ⅱ）由已知得C（2，2，0），
∴

FC

=（2，2，-1），
平面FAD的法向量

n

=（1，0，0），
设FC与平面FAD的所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

FC

，

n

＞|=

2

3

．
∴FC与平面FAD的所成角的正弦值为

2

3

．

点评：本题考查两异面直线所成角的余弦值的求法，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．