题目内容

设 $数学公式$ （其中ω＞0），已知 $数学公式$ 且f（x）最小正周期为2π
（1）求ω的值及y=f（x）的表达式；
（2）设 $数学公式$ ， $数学公式$ 求cos（α-β）的值．

解：（1）∵已知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ cos²ωx+sinωx•cosωx- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sin2ωx+ $\text{[math]}$ cosωx=sin（2ωx+ $\text{[math]}$ ）．
∵ω＞0，T= $\text{[math]}$ =2π，ω= $\text{[math]}$ ，
∴f（x）=sin（x+ $\text{[math]}$ ）．
（2）∵f（α）= $\text{[math]}$ ，∴sin（α+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
∵α∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），∴α+ $\text{[math]}$ ∈（ $\text{[math]}$ ，π），cos（α+ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ ．
再由f（β）=- $\text{[math]}$ ，可得sin（β+ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ ．再由β∈（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），可得β+ $\text{[math]}$ ∈（- $\text{[math]}$ ，0），
∴cos（β+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
∴cos（α-β）=cos[（α+ $\text{[math]}$ ）-（β+ $\text{[math]}$ ）]=cos（α+ $\text{[math]}$ ）cos（β+ $\text{[math]}$ ）-sin（α+ $\text{[math]}$ ）•sin（β+ $\text{[math]}$ ）=（- $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）•（- $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简 $\text{[math]}$ 的解析式为 sin（2ωx+ $\text{[math]}$ ），再由ω＞0，T= $\text{[math]}$ =2π，求得ω的值，即可求得f（x）的解析式．
（2）根据角的范围以及同角三角函数的基本关系求出cos（α+ $\text{[math]}$ ）、cos（β+ $\text{[math]}$ ），由cos（α-β）=cos[（α+ $\text{[math]}$ ）-（β+ $\text{[math]}$ ）]利用两角和差的余弦公式求出结果．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，两个向量的数量积的定义，属于中档题．