Question

已知函数f（x）=e^x，函数g（x）的图象与f（x）的图象关于直线y=x对称，h（x）=kx+b．
（Ⅰ）当b=0时，若对?x∈（0，+∞）均有f（x）≥h（x）≥g（x）成立，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）设h（x）的图象与f（x）的图象和g（x）的图象均相切，切点分别为(x 1，ex1)和（x₂，g（x₂）），其中x₁＞0．
（1）求证：x₁＞1＞x₂；
（2）若当x≥x₁时，关于x的不等式(ax2-x+1)ex+x≤0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据f（x）与g（x）图象的对称关系求出g（x），当b=0时数形结合，令h（x）与f（x）、g（x）分别相切，此时求出k值即为最大、最小值．
（Ⅱ）（1）由所给条件知，此时h（x）为f（x）、g（x）的公切线，则两切点处导数相等，且与其连线斜率也相等，再结合x₁＞0即可证明．
      （2）先把x₁、x₂当作常数，分离参数后转化函数最值问题，再把x₁、x₂当作变量用导数求函数最值即可解决．

解答：（Ⅰ）解：因为函数g（x）的图象与f（x）的图象关于直线y=x对称，所以g（x）=lnx．
当b=0时，h（x）=kx，当f（x）与y=kx相切时，设切点为（x₁，ex1），则有ex1=

ex1

x1

=k，∴x₁=1，k=e．
当g（x）与y=kx相切时，设切点为（x₂，lnx₂），则

1

x2

=

lnx2

x2

=k，∴x₂=e，k=

1

e

．
 因为对?x∈（0，+∞）均有f（x）≥h（x）≥g（x）成立，据图象有

1

e

≤k≤e，
故实数k的取值范围为 [

1

e

，e]．
（Ⅱ）（1）由题意得

ex1= 1 x2 ex1-lnx2 x1-x2 =ex1

，
∵x₁＞0，∴ex1=

1

x2

＞1，∴0＜x₂＜1．
由

ex1-lnx2

x1-x2

=ex1得ex1(x1-x2-1)=-lnx2，
∵0＜x₂＜1，∴-lnx₂＞0，∴x₁-x₂-1＞0，x₁＞x₂+1＞1．
综上，x₁＞1＞x₂．
（2）∵x₁＞1＞x₂＞0，∴关于x的不等式(ax2-x+1)ex+x≤0恒成立，即ax₂≤-xe^-x+x-1恒成立，
令m（x）=-xe^-x+x-1，则m′（x）=（x-1）e^-x+1，当x≥x₁＞1时，m′（x）＞0，所以m（x）单调递增，m（x）≥m（x₁）=-x1e-x1+x1-1．
所以ax₂≤-x1e-x1+x1-1，a≤

-x1e-x1+x1-1

x2

，又

1

x2

=ex1，所以a≤-x₁+（x₁-1）ex1，
令n（x₁）=-x₁+（x₁-1）ex1，则n′（x₁）=-1+x1ex1，因为x₁＞1，所以n′（x₁）＞0，n（x₁）单调递增，n（x₁）＞n（1）=-1，所以a≤-1．
故实数a的取值范围为：a≤-1．

点评：本题属函数恒成立问题，综合性强，难度大，对分析问题解决问题的能力要求较高．