Question

【题目】已知平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为（3， ）．曲线C的参数方程为ρ=2cos（θ﹣ ）（θ为参数）．
（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若Q为曲线C上的动点，求PQ的中点M到直线l：2ρcosθ+4ρsinθ= 的距离的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由P点的极坐标为（3， ），∴xP=3 = ，yP=3 = ， ∴点P的直角坐标为 ．
曲线C的参数方程为ρ=2cos（θ﹣ ）（θ为参数），展开可得：ρ2= （ρcosθ+ρsinθ），
∴x2+y2= x+ y，
配方为： + =1．
（Ⅱ）直线l：2ρcosθ+4ρsinθ= 的直角坐标方程为：：2x+4y= ．
设Q ，则M ，
则点M到直线l的距离d= = = ，当且仅当sin（θ+φ）=﹣1时取等号．
∴点M到直线l：2ρcosθ+4ρsinθ= 的距离的最小值是
【解析】（Ⅰ）由P点的极坐标为（3， ），利用 可得点P的直角坐标．曲线C的参数方程为ρ=2cos（θ﹣ ）（θ为参数），展开可得：ρ2= （ρcosθ+ρsinθ），利用 及其ρ2=x2+y2即可得出直角坐标方程．（Ⅱ）直线l：2ρcosθ+4ρsinθ= 的直角坐标方程为：：2x+4y= ．设Q ，则M ，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性值域即可得出．