题目内容

向量 $数学公式$ ， $数学公式$ ，其中0＜ω＜1，且 $数学公式$ ．将f（x）的图象沿x轴向左平移 $数学公式$ 个单位，沿y轴向下平移 $数学公式$ 个单位，得到g（x）的图象，已知g（x）的图象关于 $数学公式$ 对称．
（1）求ω的值；
（2）求g（x）在[0，4π]上的单调递增区间．

解：（1）因为 $\text{[math]}$ ，所以f（x）=sinωx（sinωx+cosωx）=sin²ωx+sinωxcosωx= $\text{[math]}$ （1-cos2ωx）+ $\text{[math]}$ sin2ωx= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
而g（x）= $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 对称，所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，k∈Z
∴ω=k+ $\text{[math]}$ ，由k∈Z，0＜ω＜1得ω= $\text{[math]}$ ．
（2）g（x）= $\text{[math]}$ ．由 $\text{[math]}$ k∈Z
得 $\text{[math]}$ k∈Z又x∈[0，4π]且k=0时， $\text{[math]}$ ，k=1时 $\text{[math]}$ ，
所以g（x）在[0，4π]上的单调递增区间为 $\text{[math]}$
分析：（1）通过 $\text{[math]}$ 推出函数f（x）的表达式，化简为一个角的一个三角函数的形式，利用图象变换后关于 $\text{[math]}$ 对称，求出ω的值．
（2）由（1）得到g（x），利用正弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间，然后求出g（x）在[0，4π]上的单调递增区间．
点评：本题是中档题，考查向量的数量积，三角函数的化简求值，三角函数的图象的变换，正弦函数的单调性的应用，考查计算能力，常考题型．